Die vollständige Induktion beruht auf einem einfachen Prinzip: Wir wollen die Allgemeingültigkeit einer Behauptung beweisen,indem wir die Behauptung zuerst per Handrechnen für eine beliebige Zahl beweisen und danach beweisen, daß sie auch für ALLE folgenden Zahlen stimmt. Also haben wir zwei Schritte durchzuführen:
- 1.Schritt :Die Behauptung für eine beliebige - zweckmäßigerweise eine kleine - Zahl ausrechnen, und wenn das Ergebnis stimmt, folgt der
- 2.Schritt: Davon ausgehend, daß die Behauptung stimmt, setzen wir ganz allgemein die der Variable folgende Zahl ein.
Zumeist haben wir irgendwelche Reihen zu beweisen, die als Glieder irgendwelche an mit dem Zähler n enthalten. Im Folgenden ein ganz einfaches Beispiel:
1.Beispiel:
Aufgabe:
Beweise daß gilt:
Dies solle für alle natürlichen Zahlen n außer der 0 gelten.
Lösung:
Links und in der Mitte steht also eine Reihe einfach in zwei verschiedenen Schreibweisen und rechts steht die
zu beweisende Formel zur Berechnung dieser Reihe. Wir wollen nun nachweisen, daß diese Behauptung wahr ist.
1.Schritt
Im ersten Schritt wählen wir willkürlich, der einfachen Rechnung wegen, n=1 und setzen dies auf der
rechten und auf der linken Seite ein:
Für n = 1 gilt die Behauptung also!
2.Schritt
2.Beispiel:
2.Schritt
Wir sagen, die Behauptung sei richtig. (Dies machen wir an dieser Stelle immer!) Wenn sie dann auch bei
eingesetztem (n+1) - dem
Nachfolger von n also - stimmt, so ist die Behauptung tatsächlich bewiesen.
(Dies ist ein gegebener Grundsatz der vollständigen Induktion!)
Also setzen wir (n+1) ein:
Dieses
Einsetzen ist der wichtigste Punkt. Links addiert Ihr ein Folgeglied zum n-ten Glied dazu - führt also die
Summe bis n+1 statt nur bis n aus! Rechts setzt Ihr dafuer statt des n ein n+1 ein.
Nun behalte ich die Gleichung so vor Augen und forme sie schrittweise rechts und links um, bis ich als
Ziel auf beiden Seiten etwas offensichtlich Gleiches stehen habe:
Daß die Summe aus dem linken Teil mit dem Term aus dem mittleren Teil übereinstimmt, entnehme ich
der Aufgabenstellung. Deren Richtigkeit ist ja die Behauptung, von der wir ausgehen. Weiter geht´s mit
Umformerei...
Was zu zeigen war!
Klausur WS96/97 Prof.Angele Aufgabe 1a)
Beweise per vollständiger Induktion, daß gilt:
Am besten rechnet Ihr sie vorher selber!
Lösung:
Links steht wieder eine Reihe und rechts eine Formel zur Berechnung des Ergebnisses.
1.Schritt
Für den Induktionsbeginn wähle ich für n wieder die 1. Einfaches Einsetzen ergibt für die
linke Seite
und rechts eingesetzt ergibt sich
Die Formel gilt also für n = 1 !
Wir behaupten nun wieder, daß die zu beweisende Formel richtig ist. Wenn sie tatsächlich
richtig sein will,muss sie auch für das Folgeglied, und damit automatisch für alle Folgeglieder
richtig sein.
Wir ersetzen also n durch
Ab jetzt versuche ich, durch Umformen auf beiden Seiten das Gleiche stehen zu haben. Links steht eine Summe, die
ihre Glieder quadriert und addiert. Ich darf also die Summe erstmal so stehen lassen, nur daß ich das (n + 1).te
Glied von Hand dazu addiere. Der Index der Summe wird dementsprechend um 1 reduziert. Rechts habe ich bloß Klammern ausgerechnet. Es folgt damit:
Die Summe auf der linken Seite entspricht der Summe aus der Aufgabenstellung, ich darf sie gemäß unserer
Behauptung ersetzen. Rechts sind wieder nur Klammern ausmultipliziert. Die Gleichung sieht nun so aus:
Ich multipliziere als nächstes die ganze Gleichung mit 6 und multipliziere auch erneut weiter Klammern aus:
Jetzt rechne ich noch die restlichen Klammern aus und erhalte in wenigen Schritten:
Womit unser Ziel erreicht ist!
Letzte Änderung . Anmerkungen an den Webmaster