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Was sind Mengen?

Welche Elemente enthalten die vordefinierten Zahlenmengen?

Was ist eine Relation?

Wofür sind Relationen gut?

Was genau ist eine Funktion?

Was bedeuten die Ausdrücke injektiv, surjektiv und bijektiv?

Wann ist eine Funktion umkehrbar?

Was ist eine algebraische Struktur?

Was bedeutet "angeordneter" Körper?

Was ist ein Vektor?

Und was ist dann ein Vektorraum?

Und was ist ein Teilraum?

Wie addiere ich Vektoren und was passiert dabei?

Wie multipliziere ich mit einem Skalar und was passiert dabei?

Was ist eine Linearkombination?

Wie soll ich mir die Lineare Hülle vorstellen?

Wann sind Vektoren linear unabhängig?

Wie stelle ich die Dimension eines Vektorraumes fest?

Was ist die Basis eines Vektorraumes?

Was ist eine Hyperebene?

Was ist eine Geradengleichung?

Was ist eine Ebenengleichung?

Wie stelle ich den Schnittpunkt zweier Geraden fest?

Was ist eine lineare Abbildung?

Was ist der Kern?

Was bedeuten die Begriffe Isomorphismus, Endomorphismus und Automorphismus?

Was ist der "Kanonische Isomorphismus" bzw. Fb?

Was ist der Rang?

Wie stelle ich den Rang einer Abbildung fest?

Was sind Matrizen?

Genauer: Was sind Matrizen?

Was heisst (p x q)-Matrix?

Was ist das neutrale Element bei Matrizen?

Was ist die Umkehrung einer Matrix?

Was ist eine reguläre Matrix?

Was ist ein lineares Gleichungssystem LGS?

Was ist eine Systemmatrix?

Was ist eine erweiterte Systemmatrix?

Was bedeutet homogen/inhomogen bei einem LGS?

Wie sieht es mit der Lösbarkeit eines LGS aus?

Was ist das Gaußsche Eliminationsverfahren?

Was sind Elementarmatrizen?

Was kann ich mit Elementarmatrizen denn machen?

Was ist eine Permutation?

Was ist eine Inversion (einer Permutation)?

Wann ist eine Permutation gerade/ungerade?

Was ist eine Determinante?

Was ist die Transponierte (-Matrix)?

Was ist eine Unterdeterminante?

"Entwicklungssatz nach Laplace", was ist das?

Wofür brauchen wir die Cramersche Regel?

Was sollen Dinge wie "Bilinearform, euklidischer Vektorraum" etc.?

Was ist das "kanonische Skalarprodukt"?

Wie berechne ich die Norm/Länge eines Vektors?

Was ist das Vektor-/Kreuzprodukt zweier Vektoren?

Was ist eine Metrik?

Was ist eine Kugelumgebung?

Was ist eine Umgebung?

Was ist eine Multimenge?

Was ist ein Häufungspunkt?

Was ist eine Konvergenz?

Was ist eine unendliche Folge?

Wann ist eine Folge konvergent/divergent?

Was bedeuten die Begriffe "monoton wachsend, fallend..."?

Welche Elemente enthalten die vordefinierten Zahlenmengen?

• Natürliche Zahlen: N = {0,1,2,...}
• Ganze Zahlen: Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}
• Rationale Zahlen: Q enthält alle Zahlen, die als Bruch ganzer Zahlen darstellbar sind. Das sind also alle Zahlen aus Z und alle, die entweder irgendwann hinter dem Komma enden oder periodisch werden. e = 2,7..... gehört z.B. nicht dazu.
• Reelle Zahlen: R enthält ALLE Zahlen, so wie wir sie kennen.
• Komplexe Zahlen: C ist eine "künstliche" Menge, die auch das Wurzelziehen aus negativen Zahlen ermöglicht. Als Grunddefinition sehen alle ihr Elemente so aus: a + i*b mit i² = -1. a ist der Realteil, i*b nennt man Imaginärteil. Für die Elemente von C sind besondere Rechenregeln definiert

Was ist eine Relation?
Meist arbeiten wir mit zweistelligen Relationen, also tue ich das hier auch. Wir nehmen zwei Mengen A = {a1,a2,a3,....,an} und B = {b1,b2,b3,....,bn}. Davon bilden wir das Cartesische Produkt, also eine Menge C, die ALLE Kombinationen der Elemente von A und B als Paare enthält. Es ist also
C = {(a1;,b1),(a1,b2),...,(a1,bn),(a2,b1),....,(an,bn)}. Man beachte, daß die Paare selbst keine Mengen, sondern feste Paare sind!. Für eine Relation brauchen wir auch noch eine Beziehung dieser Elemente untereinander, die wir betrachten können. Eine Relation ist nun: Eine beliebige Teilmenge aus C und irgendeine Beziehung, womit wir die an mit den bn vergleichen können.
1.Beispiel:
A = {Anna, Tina}, B = {Karl, Tom, Peter}, Beziehung = (" LIEBT "), und zufällig weiss ich: Anna liebt Peter und Tina liebt Tom. Das ist damit schon eine Relation! Sie wird so dargestellt/entwickelt:
C = A x B = {(Anna,Karl),(Anna,Tom),(Anna,Peter),(Tina,Karl),(Tina,Tom),(Tina,Peter)}
Die Relation enthält nun die Paare, auf die die Beziehung zutrifft:
aRb = L ={(Anna,Peter),(Tina,Tom)}

2.Beispiel:
A = N , B = N , Beziehung = "ist kleiner als".
C = {(0,0),(0,1),...,(0,n),(1,0),...,(1,n),...,(n,0),...,(n,n)}
=> aRb = {(0,1),...,(0,n),(1,2),(1,3),...,(1,n),...,(n-1,n)}

Man muss verstehen, daß im Prinzip alles in der Mathematik eine Relation ist, wie z.B. auch ein Vektor:
Vektor zeigt von Startpunkt (Element aus Menge der Startpunkte) auf Zielpunkt (Element aus Menge der Zielpunkte). Die Beziehung ist also "zeigt auf"
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Wofür sind Relationen gut
Erst einmal für garnichts. Aber wir können einige Eigenschaften von verschiedenen Relationen betrachten und den Relationen Namen je nach Eigenschaft geben. Bestimmte Relationen sind dann Grundlage für spätere Kapitel der Mathematik. Spezielle Relationen (es werden immer zweistellige betrachtet!):

• Äquivalenzrelation
• Halbordnung --> Strikte Halbordnung
• Lineare- oder Totalordnung
• Funktion

Was ist eine Funktion?
Eine Funktion ist eine spezielle Relation, wobei jedem Element aus einer Wertemenge genau ein Element aus einer Bildmenge zugeordnet wird. In unserem gewohnten Koordinatensystem wird also jedem x-Wert genau ein y-Wert zugewiesen. Es können aber durchaus mehrere x-Werte den gleichen y-Wert ergeben. Z.B. bei x² = y wird y = 4 durch x = 2 und durch x = -2 erreicht! y = 1/x ist nur dann Funktion, wenn man die 0 aus dem Wertebereich nimmt. Ist die 0 in der Wertemenge, hat die Gleichung an dieser Stelle keinen y-Wert und ist somit auch keine Funktion, sondern nur eine doofe kleine Gleichung!
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Was bedeuten die Ausdrücke injektiv, surjektiv und bijektiv?

• injektiv: jedes y kommt höchstens einmal vor. Z.B.: 2^x = y ist injektiv, aber NICHT surjektiv.
• surjektiv: jedes y kommt mindestens einmal vor. Z.B. y = x^3 + x^2 ist surjektiv, aber NICHT injektiv.
• bijektiv: jedes y kommt genau einmal vor. Z.B. y = x ist injektiv und surjektiv, also bijektiv.

Wann ist eine Funktion umkehrbar?
Umkehrung soll die inverse Funktion sein. D.h. konkret: x und y werden vertauscht und dies muss dann immer noch eine Funktion sein.
Zwei Wege, dies festzustellen: Entweder Umkehrung vollziehen und prüfen, ob das dann immernoch eine Funktion ist, oder prüfen, ob die Funktion bijektiv ist, denn nur bijektive Funktionen lassen sich umkehren.
Z.B.:
y = x² ist Funktion, da es für jeden x-Wert mindestens ein y enthält. Um sie umzukehren, müßte y = x² bijektiv sein. Ist sie aber nicht, denn surjektiv ist sie nicht wegen zweier x-Werte für jedes y. Daß sie nicht umkehrbar ist, sieht man ebenso durch:
x,y vertauschen --> x = y²
nach y auflösen --> y = wurzel(x)
dies wäre die Umkehrung, welche aber KEINE Funktion ist, da es immer zwei Lösungen gibt!
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Was ist eine algebraische Struktur?
Während wir bei Relationen Beziehungen zwischen den Elementen von zwei Mengen betrachtet haben, stammen bei algebraischen Strukturen die Elemente aus ein und derselben Menge und werden irgendwie miteinander verknüpft, so daß irgendein Ergebnis herauskommt.
Und wieder werden verschiedene Eigenschaften untersucht, die dann namensgebend sind. Die ersten Eigenschaften sind die berühmten 5 Gesetze G1 - G5, die für Strukturen mit nur einer Verknüfung untersucht werden.

Die Gesetze sind:
• G1 Abgeschlossenheit: bei jeder Operation muß etwas herauskommen, was innerhalb der Ursprungsmenge ist
• G2 Assoziativgesetz: (a * b) * c = a * (b * c)
• G3 Einheitselement e: a * e = e * a = a Es geschieht bei Verknüpfung mit e also nix!
• G4 Neutrales Element a´: a * a´ = a´ * a = e Kann nur existieren, wenn e existiert!
• G5 Kommutativgesetz: a * b = b * a

• Gruppoid wenn G1 gilt.
• Halbgruppe wenn G1 und G2 gelten.
• Monoid wenn G1 - G3 gelten.
• Gruppe wenn G1 - G4 gelten
• gilt auch G5, so erhält die Struktur noch den Namenszusatz abelsch bzw. kommutativ.

Was bedeutet "angeordneter" Körper?
Es ist eine algebraische Struktur, halt ein Körper, der einen Nullpunkt hat (die Null bei der Addition) und symmetrisch um diesen verteilt ist.
Vorstellbar z.B. als Zahlengerade {....-2,-1,0,1,2,....).

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Was ist ein Vektor?
Ein Vektor ist Element eines Vektorraums und nur durch diesen definiert. Vektoren, wie wir sie in der Schule kennengelernt haben, nämlich Pfeile von einem Punkt des Raumes zu einem anderen, sind eigentlich keine Vektoren, sondern nur ein Mittel, um ein paar Vektoren anschaulich darzustellen. Vektoren können genauso gut auch Funktionen oder Reihen sein.
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Und was ist dann ein Vektorraum?
Ein Raum, in dem ALLE möglichen Vektoren dieses Raums liegen. Wenn die Vektoren einen Vektorraum bilden, so müssen einige Regeln erfüllt sein, wie z.B. Abgeschlossenheit.
In einer Aufgabe, die fragt, ob ein Gebilde ein Vektorraum ist, muß man stur diese Regeln, die in der Definition des Vektorraums festgelegt sind, überprüfen. Ihr müßt Euch nichtmal diesen Vektorraum bildhaft vorstellen können, sondern wirklich nur stur auf die Einhaltung dieser Bedingungen überprüfen.
Die Regeln, ob etwas ein Vektorraum ist lauten im Einzelnen:

• Die Menge der Vektoren muss bzgl. der Addition eine abelsche Gruppe bilden.
• für jedes Skalar s,t aus dem Körper K (meist einfach die Menge der reellen Zahlen R), und den Vektoren dieses Raumes x und y müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • s * (x + y) = s * x + s * y
  • (s + t) * x = s * x + t * x
  • s * (t * x) = (s * t) * x
  • 1 * x = x

Und was ist ein Teilraum?
Ein Teilraum ist eine Untermenge von einem Vektorraum, die ebenfalls wieder einen Vektorraum bildet.
Beispiel:
Der Anschauungsraum R³ ist Vektorraum. Der Vektorraum R² ist ein Teilraum, wenn man ihn so darstellt:
R³ enthält Vektoren in der Form (x y z) und R² die Vektoren mit (x y 0).
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Wie addiere ich Vektoren und was passiert dabei?
Addiere die Koordinaten der Vektoren. Anschaulich wird bei Addition zweier Vektoren der Fuß des einen auf die Spitze des anderen Vektors gesetzt. Dabei entsteht ein Vektor mit anderer Länge und anderer Richtung!
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Wie multipliziere ich einen Vektor mit einem Skalar und was passiert dabei?
Multipliziere jede Koordinate des Vektors einzeln mit dem Skalar ( einer einfachen Zahl!). Dadurch wird der Vektor gestreckt ( wenn Skalar > 1 ), gestaucht ( wenn 1 > Skalar > 0 ) oder seine Richtung in die genau entgegengesetzte Richtung umgedreht (wenn Skalar negativ).
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Was ist eine Linerkombination?
Wenn ich mehrere Vektoren, mindestens zwei, habe und die miteinander kombiniere (addiere) und zusätzlich jeden Vektor beliebig in seiner Länge variiere ( durch Multiplikation mit einem Skalar), so habe ich eine Linearkombination.
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Wie soll ich mir die Lineare Hülle vorstellen?
Jeder Punkt im Raum, den ich durch beliebige Linearkombinationen erreichen kann, gehört zur Linearen Hülle. Sie ist also die Menge ALLER möglichen Linearkombinationen der betrachteten Vektoren.
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Wann sind Vektoren linear unabhängig?
Wenn sie so verschieden sind, daß man mit Linearkombinationen von ihnen jeden Punkt im Raum nur auf einem Weg erreichen kann.
Beispiel: Die Vektoren (1 0) [stellt die 1 und 0 übereinander und es ist ein Vektor *grins*] und (2 0) sind linear abhängig, da ich den Punkt (6 0) auf mehrere Arten erreichen kann:
2 * (1 0) + 2 * (2 0) = (6 0) und
4 * (1 0) + 1 * (1 0) = (6 0)

(2 0) und (0 2) sind dagegen linear unabhängig. Ich kann mit ihnen also jeden anderen Vektor eindeutig darstellen!

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Wie stelle ich die Dimension eines Vektorraumes fest?
Die Anzahl der (linear unabhängigen) Vektoren, die ich zum Darstellen jedes anderen Vektors, also zum Erreichen jedes beliebigen Punktes benötige, ist die Dimension eines Vektorraumes.
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Was ist die Basis eines Vektorraumes?
Die Basis wird von den Vektoren gebildet, die ausreichen, um jeden anderen Vektor darzustellen.
Beispiel:
Die beiden Vektoren a = (1 0) und b = (0 1) sind eine Basis des R². Durch Linearkombination von ihnen kann JEDER andere Vektor dieses Vektorraums gebildet werden.
Z.B. (7 8) = 7 * a + 8 * b

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Was ist eine Hyperebene?
Man nehme einen beliebigen Teilraum und addiere ihn mit einem beliebigen Vektor a. Dazu addiert man jeden einzelnen Vektor aus dem Teilraum mit Vektor a. Dadurch entsteht ein um den Vektor a verschobenes Konstrukt, welches Hyperebene genannt wird. Diese Hyperebene ist KEIN Teilraum mehr!
Beispiel:
Vektorraum ist R³ und Teilraum sei R². R² ist anschaulich eine Ebene, die auf zwei Koordinatenachsen liegt. Nehmen wir die Ebene auf der x-Achse und y-Achse. Addiere ich nun diese Ebene mit dem Vektor (0 0 1), so ist das Ergebnis eine um 1 in z-Richtung verschobene Ebene. Ihre Ausrichtung und ihre Form ist unverändert!
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Was ist eine Geradengleichung?
Eine Geradengleichung ist eine Darstellung einer Geraden in folgender Form:
x + b * y
mit x ist Vektor, der auf einen beliebigen Punkt der Geraden zeigt, y ist Vektor, der von x in die Richtung der Geraden zeigt. Das Skalar b erzeugt sozusagen mit y die Gerade.
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Was ist eine Ebenengleichung?
Eine Ebenengleichung ist eine Darstellung einer Ebene in folgender Form:
x + b * y + c * z
mit x ist Vektor, der auf einen beliebigen Punkt der Ebene zeigt, y ist Vektor, in der Ebene liegt und z ist Vektor, der mit y die Ebene aufspannt. Die Skalare b und c erzeugen dann die Ebene in Art einer Linearkombination.
Dazu müssen y und z linear unabhängig sein!
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Wie stelle ich den Schnittpunkt zweier Geraden fest?
Sind zwei Geradengleichung gegeben, so schneiden sie sich, wenn sie gleich sind. Also Geradengleichungen gleichsetzen. Dies ist dann ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, nämlich den beiden Skalaren. Durch Ausrechnen ermitteln wir die Skalare und setzen sie in die Geradengleichungen ein. Es müssen bei beiden Gleichungen die identischen Punkte herauskommen. Sollte kein ordentliches Ergebnis zustande kommen, so deutet das entweder auf einen Rechenfehler hin, oder die beiden Geraden schneiden sich gar nicht!
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Was ist eine lineare Abbildung?
Eine lineare Abbildung bildet Vektoren eines Vektorraums durch eine Abbildungsvorschrift in Vektoren eines anderen Vektorraums ab. Vorstellbar etwa wie eine Funktion bei der die einezlnen Variablen nun den Vektoren entsprechen. Immer, wenn nach linearer Abbildung gefragt wird, ist dieselbe Gleichung auf Richtigkeit zu überprüfen:
Es seien a und b Skalare (also Zahlen aus R) und x,y Vektoren aus dem ersten Vektorraum. Weiter sei A die Abbildungsvorschrift. Mit diesen sei
A(a * x + b * y) = a * A(x) + b * A(y)
Links wird also erst eine Linearkombination gebildet und auf diese dann die Abbildungsvorschrift angewendet. Rechts werden erst die Abbildungen durchgeführt und danach aus diesen neuen Vektoren die Linearkombination gebildet.

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Was ist der Kern?
Der Kern enthält laut Definition alle die Vektoren, die durch die Abbildung zum Nullvektor werden. Um den Kern zu ermitteln, ist also die Abbildungsvorschrift gleich Null zu setzen und auszurechnen.
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Was bedeuten die Begriffe Isomorphismus, Endomorphismus und Automorphismus?
Die Begriffe bezeichnen lineare Abbildungen A mit bestimmten Eigenschaften:

• Isomorphismus bedeutet, daß A bijektiv ist.
• Endomorphismus heißt A, wenn die Vektoren in den gleichen Vektorraum abgebildet werden.
• Automorphismus liegt vor, wenn A gleichzeitig Isomorphismus UND Endorphismus ist.

Was ist der "kanonische Isomorphismus" bzw. Fb?
Dies ist auch eine lineare Abbildung, und zwar eine recht einfache. Abbildungen erzögen ja aus einem Vektor einen anderen Vektor. Und wie wir wissen, lässt sich jeder Vektor durch eine Linearkombination der Basisvektoren darstellen.
Sei B={b1,b2,...,bn} die Basis des Vektorraumes. Dann ist ein beliebiger Vektor x darzustellen als
x = (u1 * b1 + u2 * b2 + ... + un * bn). Fb erzeugt aus diesem Vektor dann den Vektor (u1 u2 ... un), also einfach die Koordinaten des Vektors bezüglich der Basis.
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Was ist der Rang?
Der Rang einer Abbildung A ist die Dimension des Vektorraums, der durch die abgebildeten Vektoren erzeugt wird.
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Wie stelle ich den Rang einer Abbildung fest?
Hierfür ist ein Satz aus der Vorlesung sehr wichtig:
Sei A eine lineare Abbildung, die von Vektorraum U in Vektorraum V abbildet. Dann gilt:
dim Kern A + dim A(U)= dim U
Hierbei sind:
dim Kern A = die Dimension des Kerns von A.
dim A(U) ist der Rang von A.
ACHTUNG: A(U) ist natürlich NICHT gleich V !

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Was sind Matrizen?
Eine Matrix besteht eigentlich nur aus direkt nebeneinander, in eine Klammer geschriebenen Vektoren, die wiederum Koordinaten enthalten.

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Genauer:Was sind Matrizen?
Eine Matrix hat den Sinn, eine lineare(!) Abbildung darzustellen und einfacher handhabbar zu machen. Wenn wir von Abbildungen reden, wollen wir stets vollständig die Vektoren eines Vektorraums in Vektoren eines anderen oder gleichen Vektorraums überführen, also umwandeln oder umrechnen. Eine Matrix enthält nun nebeneinander die Abbildungsvorschriften für die einzelnen Basisvektoren. Untereinander stehend haben wir also jeweils die Koeffizienten der einzelnen Elemente einer Abbildung (Gleichung). Für die Klausur wird aber eher das Rechnen mit Matrizen relevant sein, dem ich eine eigene Seite gewidmet habe.

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Was heisst (p x q)-Matrix?
Das p ist die Anzahl der Zeilen und das q die Anzahl der Spalten.
Die Zeilen heißen Zeilenvektoren, die Spalten dementsprechend Spaltenvektoren.

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Was ist das neutrale Element bei Matrizen?
Genau wie bei anderen algebraischen Strukturen, gibt es auch bei Matrizen ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation. Ein neutrales Element ist natürlich die 1 für die Skalarmultiplikation.
Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation von zwei Matrizen, ist die Matrix, die von links oben nach rechts unten, also in der Hauptdiagonalen, nur Einsen hat und ansonsten überall Null. Eine neutrale Matrix gibt es damit nur bei quadratischen Matrizen, Zeilen- und Spaltenanzahl müssen also gleich sein.
Probiert es einfach einmal selber aus.

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Was ist die Umkehrung einer Matrix?
Multipliziert man eine Matrix mit ihrer Umkehrung, bekommt man die neutrale Matrix heraus. Dabei ist es egal, ob man von rechts oder von links multipliziert! Eine Umkehrbarkeit entspricht dem bei Funktionen üblichen Ausdruck von bijektiv.

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Was ist eine reguläre Matrix?
Eine Matrix wird regulär genannt, wenn es eine Umkehrung zu ihr gibt. Grundsätzlich sind NUR (n x n)-Matrizen - also quadratische - umkehrbar. Ist eine quadratische Matrix nicht umkehrbar, so heißt sie singulär.

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Was ist ein lineares Gleichungssystem LGS?
Ein LGS besteht aus einer Reihe linearer -also alle xn, die gesuchten Unbekannten, kommen nur in erster Potenz vor- Gleichungen, die alle die gleiche Reihe von xn beschreiben.

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Was ist eine Systemmatrix?
Schreibt man die Koeffizienten des LGS pro Gleichung zeilenweise in eine Matrix, so heisst diese Systemmatrix.

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Was ist eine erweitere Systemmatrix?
Es ist die vorgenannte Systemmatrix, die in einer angehängten Spalte untereinander die Lösungen des LGS enthält. Jede Zeile stellt sozusagen eine der Gleichungen dar, jede Spalte eines der xn

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Was bedeutet homogen/inhomogen bei einem LGS?
Homogen heisst ein LGS, wenn die rechte Seite, also die Lösungen, alle gleich Null sind. Steht auf der rechten Seite auch nur einmal ein anderer Wert, so heißt das LGS inhomogen.

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Wie sieht es mit der Lösbarkeit eines LGS aus?

• Ein homogenes LGS ist immer lösbar.
• Enthält die Systemmatrix genausoviele linear unabhängige Spaltenvektoren wie die erweiterte Systemmatrix, ist das LGS lösbar. D.h.: Hat die Matrix mehr Zeilen, als es unbekannte xn gibt, so kann sie unlösbar sein.
• Hat die Matrix genausoviele Zeilen wie Spalten und sind alle Spaltenvektoren linear unabhängig, so ist das LGS eindeutig lösbar. Es gibt also genau eine Lösung.

Was ist das Gaußsche Eliminationsverfahren?
Dieses Verfahren dient dazu, das komplizierte LGS in ein weit einfacheres zu verwandeln, aus dem die Lösungen fast schon direkt ablesbar sind. Dazu wird die Systemmatrix durch folgende Operationen umgeformt:

• Zeilentausch
• Zeilenmultiplikation
• Zeilen zu anderen hinzuaddieren
• Spaltentausch

Was sind Elementarmatrizen?
Das sind Matrizen, die sich ein kluger Kopf ausgedacht hat. Multipliziert man sie mit einer Systemmatrix, so bewirken sie genau die Operationen des Gaußverfahrens. Man braucht sie z.B., um das Gaußverfahren automatisieren zu können.

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Was kann ich mit Elementarmatrizen denn machen?
Durch Multiplikation von verschiedenen Elementarmatrizen mit der Einheitsmatrix (=neutrales Element der Matrizen) läßt sich jede beliebige andere invertierbare Matrix errechnen.
Oder andersherum: Durch Multiplikation einer invertierbaren Matrix mit verschiedenen Elementarmatrizen können wir die Umkehrung dieser Matrix errechnen. Wie das geht, zeige ich bald in "Rechnen mit Matrizen".

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Was ist eine Permutation?
Hatten die Elemente einer Menge keine Anordnung, so gibt eine Permutation ihnen nun eine. Jedem einzelnen Element wird eine feste Position vorgeschrieben. Jede festgelegte Reihenfolge, nennt man eine Permutation. Alle verschiedenen, möglichen Reihenfolgen sind alle Permutationen einer Menge.

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Was ist eine Inversion (einer Permutation)?
Haben wir eine Menge, in der die Elemente aufsteigend der Größe nach geordnet sind (also ist es auch schon eine Permutation! ) und bilden durch eine Permutation die Elemente so ab, daß sie nun abfallend nach Größe sortiert sind, so nennt man das die Inversion der Permutation.. Jedes Paar von Elementen, bei denen das Erste größer als das Zweite ist, nennt man EINE Inversion. wird (1,2,3) also nach (3,2,1) permutiert, so haben wir 3 Inversionen:
3 > 2
2 > 1
3 > 1


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Wann ist eine Permutation gerade/ungerade?
Die Permutation heißt gerade, wenn die Zahl der Inversionen, die sie hervorbringt, gerade ist und ungerade, wenn die Zahle der Inversionen ungerade ist. Gerade Permutationen haben ein positives Vorzeichen, ungerade ein negatives Vorzeichen.

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Was ist eine Determinante?
Die Determinante ist das Ergebnis einer Abbildungs-, also Berechnungsvorschrift. Die Determinante macht ein paar Aussagen über die Matrix, aus der sie gebildet wurde und andersherum.
Das sind z.B.:

• Ist die Determinante gleich Null, so ist die Matrix nicht umkehrbar.
• Ist die Determinante ungleich Null, so ist die Matrix umkehrbar.
• Enthält eine Matrix zwei gleiche Zeilen oder ist eine Zeile ein Vielfaches von einer anderen, so ist die Determinante gleich Null.
• Vertausche ich zwei Spalten oder zwei Zeilen der Matrix miteinander, so ändert sich der Betrag der Determinante nicht, aber das Vorzeichen wechselt.
• Addiere ich zu einer Zeile das Vielfache einer anderen Zeile, so ändert sich die Determinante nicht.
• Gelingt es uns, eine Matrix nach dem Gauß-Verfahren in Dreiecksform zu bringen, so ist die Determinante das Produkt aus den Elementen in der Hauptdiagonalen.

Was ist die Transponierte (-Matrix)?
Die Transporierte von M erhält man durch Tausch der Spalten und Zeilen miteinander. Also eine Spiegelung an der Hauptdiagonalen.

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Was ist eine Unterdeterminante?
Streicht man aus einer Matrix M die i-te Zeile und die j-te Spalte und errechnet die Determinante der verbleibenden Matrix, so ist dies die Unterdeterminante deti,jM.

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"Entwicklungssatz nach Laplace", was ist das?
Dieser Satz bietet ein Verfahren zur Berechnung von Determinanten mit Hilfe von Unterdeterminanten.

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Wofür brauchen wir die Cramersche Regel?
Um eindeutige Lösungen eines linearen Gleichungssystems zu berechnen. Ihr Einsatz lohnt sich besonders, wenn wir gezielt nur einzelne Lösungen eines komplexen LGS´s suchen, oder andererseits, wenn die Systemmatrix nicht größer als 4x4 ist.

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Was sollen Dinge wie "Bilinearform, euklidischer Vektorraum" etc.?
Diese Ansammlung von Definitionen sorgt dafür, daß wir uns Vektoren endlich anschaulich vorstellen dürfen, daß sie Längen haben und man sie sich wirklich als "Pfeile" im Raum vorstellen darf.

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Was ist das "kanonische Skalarprodukt"?
"Kanonisches Skalarprodukt" ist das gewöhnlich bekannte Skalarprodukt zweier Vektoren. Das Ergebnis ist ein Skalar! Es wird gebildet, indem die Komponenten der Vektoren einzeln multipliziert werden und dann addiert.
Beispiel für R³:
Es seien x = (x1 x2 x3) und y = (y1 y2 y3) dann ist das kanonische Skalarprodukt
x * y = (x1 * y1 + x2 * y2 + x3 * y3)

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Wie berechne ich die Norm/länge eines Vektors?
Die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus dem kanonischen Skalarprodukt. Ganz einfach aus dem Satz des Pythagoras hergeleitet.

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Was ist das Vektor-/Kreuzprodukt zweier Vektoren?
Zwei Vektoren im R³ kann man sich als zwei Seiten eines Parallelogramms vorstellen, welches durch ihr Spiegelbild vervollständigt wird.
Das Kreuzprodukt ergibt rechnerisch einen Vektor, der genau senkrecht auf dem Ursprung der beiden Vektoren steht und dessen Länge der Fläche des aufgespannten Parallelogramms entspricht. Es wird wie folgt berechnet:
x x y = z mit
x = (x1 x2 x3), y = (y1 y2 y3) und z = (z1 z2 z3) ist
z =

• (z1 = x2 * y3 - x3 * y2)
• (z2 = x3 * y1 - x1 * y3)
• (z3 = x1 * y2 - x2 * y1)